МАТЕМАТИЧКИ ЈАЗИК ВО ОДДЕЛЕНСКА НАСТАВА

Јасмина КАРИЌ
ВеснаС. РАДОВАНОВИЌ

Факултет за специјална едукација и рехабилитација, Универзитет во Белград, Република Србија

MATHEMATICS LANGUAGE IN-CLASS INSTRUCTION

Jasmina KARIKJ
Vesna S. RADOVANOVIKJ

Faculty of Special Education and
Rehabilitation Belgrade, Republic of Serbia

Вовед

Introduction

„Математиката, соодветно гледана,  содржи не самовистина, туку и огром­на убавина“  
- Расел

“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty.”

- Russell

Математиката е начин за разбирање меѓу лу­ѓе­то (1). Таа е форма на јазик, ин­тер­на­цио­на­лен јазик, во кој комуницирањето се одвива по пат на симболи. За многу ученици со­вла­ду­ва­њето на јазикот во контекст на спе­ци­фич­ните предмети е тежок процес. Учењето на математичкиот јазик не е возможно ако не се научат неговите зборови - математички тер­ми­ни. Едноставните, познати зборови кај уче­ниците добиваат, повеќе или помалку нео­чекувани значења.
Многу ученици тешко го следат излагањето на математичките содржини. Причината за тоа е недоволно познавање на математички пои­ми, симболи, правила, операции и ал­го­рит­ми. За жал, поголемиот број на уче­ни­ци и наставници не се свесни за важноста на ус­војувањето на математичките термини, нив­ната секојдневна употреба, како и ко­ре­ла­ци­ја­та со мајчиниот јазик, каде што можеме да ја бараме причината зошто математиката ско­ро секогаш била една од потполно нео­прав­даните пречки за успех на ученикот.
Мај­чиниот и математичкиот јазик на детето има­ат важна улога во процесот на кон­цеп­туа­лизација на математичките идеи и во тек на примената на математичките знаења. Со цел, успешно да се разберат и да се решаваат ма­тематичките задачи, посебно вербалните, по­требно е да се разбере математичкиот реч­ник и математичката граматика и да се биде во состојба да се преведе симболиката и из­ра­зите од математичкиот на својот мајчин ја­зик и обратно (2). Постојат три компоненти на секој математички концепт, а тоа се: линг­вис­тичка (математички речник, синтакса и пра­вила на преведување на математичкиот јазик во мајчин јазик и обратно), кон­цеп­туал­на (математичка идеја и ментална ви­зи­ја на поимот) и процедурална (постапката на прес­метување која се применува во однос на кон­цептот). Во почетната фаза на учење на ма­тематичките концепти, акцентот треба да биде на концептуалниот развој и речникот (3). Сепак, вообичаено е, во процесот на уче­ње на математиката во училиште, најголем дел од времето да се посвети на процедуралната ком­понента, многу малку на разбирање на тер­ми­но­логијата, преведување на ма­те­ма­тич­ки­от јазик и слично, што често пати создава про­блеми. Во решавањето на текстуалната про­блемска задача клучна улога има пре­ве­ду­ва­њето кое се одвива на следниот начин: 1) формирање на вистински „животни си­туа­ции“ во мајчиниот јазик; 2) преведување на ја­зичките изрази на математички јазик (воо­чу­ва­ње и запишување на математичките ра­вен­ки); 3) преведување на математичките ре­зул­тати на мајчиниот јазик и создавање на од­го­вор адекватен на зададената животна си­ту­ација (4).
Поврзаноста на наставата по математика со го­ворот е исклучително важна ка­рак­те­рис­ти­ка кога станува збор за наставата по ма­те­ма­ти­ка во училиштата за глуви. Тој однос на по­врзаноста на јазикот и математиката ја пра­ви оваа настава специфична и поставува низа проблеми кои треба да се решаваат во тек на наставата, паралелно со предавањето на предметот (5).
Зависноста на усвојувањето на арит­ме­тич­ки­те знае­ња од нивото на развиеност на го­во­рот има своја квалитативна и квантитативна стра­­на. Невозможно е да се постигне ус­во­ју­ва­ње на поимите за пресметување без вла­дее­ње со го­ворот. Наставата по математика на спе­ци­фи­чен начин помага во учењето и ди­­фе­рен­ци­рањето на цела низа на поими, со што се збо­гатува речникот на ученикот (6).
Проблемот на корелативниот однос на нас­та­­вата по математика и говорот се движат во две насоки:

1. Не се придодава никакво значење, и има­ме т.н. „неми часови по калкулации“ во текот на кои не се употребува говор или се упо­требува многу малку;
2. Се пренагласува јазичкиот момент, и има­ме говорни калкулации во кои доминира изу­чување на јазикот, со желба да се об­јас­ну­ва секој збор и задача (7). 

Ниту еден од овие начини не е правилен и не дава добри резултати. Во училиштата за глу­ви, покрај реализирањето на општите це­ли и задачи во наставата по математика, тре­ба да се води сметка и за изведувањето на спе­цифичните задачи, а тоа е создавање и ра­звивање на говорот кај глувите деца преку нас­тавата по математика, држејќи се до глав­ни­от принцип „учењето на јазикот е во с¢“ (8).
Меѓутоа, главното оружје за совладување на ма­тематиката е апстрактно мислење кое ќе се развие поуспешно, побрзо и подобро кај де­ца кои го владеат говорот (9). Зошто е тоа така? Ограничените можности на мимичко-гес­товниот говор со кои глувите деца доа­ѓа­ат во училиште не им дозволуваат со помош на истиот да дојдат до формирање на ап­стракт­ни поими, што е една од основните об­разовни задачи на наставата по ма­те­ма­ти­ка во училиштата за глуви. Глувите деца, за­ра­ди своите оштетувања нема да бидат из­ло­же­ни на природна стимуалација, односно не­ма да ги слушаат звуците од нивната сре­ди­на, што ќе се одрази и на развојот на нив­ни­от говор. Формирањето на говорот, посебно на оралниот, кај глувите деца тече многу бав­но. Невештото користење на неадекватни збо­рови во наставата по математика може да го попречи и забави процесот на учење, го­во­ре­ње и пресметување. Ова посебно се од­не­су­ва за постарите одделенија кога пои­ми­те за ситуациите, а со самото тоа и задачите за пресметување се повеќе се комплицираат и кога глувите ученици треба да го усвојат ма­тематичкио речник на часовите за кал­ку­ла­ции. Поединечни операции имаат и си­но­ни­мни изрази што уште повеќе го отежнува сов­ладувањето како на пр. +, повеќе, додај, по­горе... Многу е важно кога проблемот ис­ка­жан со зборови неможе да се реши ако уче­ниците не го разбираат секој збор во него. Само по пат на зборови е можно јасно прет­ставување на содржината на задачите (10).
Систематската работа на создавање на ма­те­ма­тичкиот речник и специфичните изрази вр­зани за учењето на пресметувањето мора да се изведуваат, започнувајќи од раѓањето, во текот на целото образование, бидејќи без вла­деење на одреден фонд на математички тер­мини учениците не можат да ги усвојат го­лемиот број на математички поими и да стек­нат одредено знаење. Сепак, не треба да се изгуби чувството за мерка, и часот по ма­те­ма­тика да се претвори во час по мајчин ја­зик (11).
Говорниот материјал кој се употребува во нас­тавата по математика може да го по­де­ли­ме во три групи:

1. Математички пресметки – ка­рак­те­рис­тичен за операции за пресметување и од­ре­дени наставни единици, без чија активна упо­треба не би било можно логичното раз­би­ра­ње на задачите за пресметување.
2. Термини и изрази - не се појавуваат са­мо во математиката туку и во други пред­ме­ти.
3. Говорен материјал - неопходен за ор­га­ни­зација на часот по математика.

Содржината на говорниот материјал за се­ко­ја од трите групи е условена од одделението. Тре­ба да се има предвид дека математичкиот реч­ник на ученикот како средство за развој на неговото математичко мислење, ќе се раз­ви­ва само ако на него работиме систематски.

Mathematics is a way of communication between people (1). It is a form of language – international language – in which symbols are used for communication. Mastering a language in the context of a specific subject is a tough process for many pupils. It is not possible to learn the language of mathematics without learning its words – mathematic terms. Simple words, known to pupils, in the mathematical context get new, more or less unexpected meanings.
Many pupils have trouble following lectures with mathematical content. The reasoning is an unfamiliarity with mathematical terms, symbols, rules, operations and algorithms. Unfortunately, the majority of pupils and teachers are not aware of the importance of adopting mathematical terms and their everyday use with its correlation to the native language. Here we can also look for the reason mathematics have always been one of the completely unjustified obstacles in many pupils’ success.
A child’s native language and mathematic language play an important role in the process of conceptualizing mathematical ideas and the application of mathematic knowledge. In order to successfully understand and solve mathematical problems, especially verbal ones, it is necessary to understand mathematic vocabulary and grammar and to be able to translate symbols and expressions from mathematic to native language and vice versa (2). There are three components to every mathematical concept: linguistic (mathematical vocabulary, syntax, and rules of translation from mathematic language to native and vice versa), conceptual (mathematical idea and mental imagining of the term) and procedural (calculation procedure applied depending on the concept). In the early stages of learning a mathematical concept, the emphasis should be on the conceptual development and language (3). Yet, it is common for the process of learning mathematics in schools to be largely committed to procedural components and very little to the understanding of terminology, mathematic language translation, etc., which often leads to problems. One of the main components of solving textual problems is translation: 1) formulation of a realistic “life situation” in the native language; 2) translation of language expressions into mathematic language (noticing and writing down the mathematical equation); 3) translating the mathematical results back into the native language and creating a response adequate to the given life situation. (4).
The connection of mathematics instruction with speech is especially important characteristic in the instruction of mathematics in schools for students who are hearing impaired. This link between the language and mathematics makes this course-specific and posses a series of problems to be solved while lecturing the subject (5).
The dependence of the acquisition of the arithmetical knowledge from the level of speech development, has a quantitative and qualitative side. It is not possible to succeed in the acquisition of calculus terms without having mastered speech. Mathematics instruction in a specific manner helps learning and differentiates a whole series of terms, enriching the pupils’ vocabularies (6).
The problem of the correlation between mathematics instruction and speech has two points:

1. No significance was given to it – leading to the so-called “silent calculus classes” in which no speech was used or it was used very little;
2. Language was overemphasized, leading the calculus speech to be dominated by language instruction, aiming to explain each and every word in the problem (7).

Neither of these points was right and neither gave good results. In the schools for the hearing impaired, besides the realization of general goals and tasks of the mathematics instruction, the realization of specific tasks to create and develop speech in children who are hearing impaired using mathematics instruction should be noted, abiding by the main principle that “learning of the language is in everything” (8).
However, the main tool in mastering mathematics is abstract thought, which develops quicker, more successfully, and better in children who have mastered speech (9). Why is this so? The limited possibilities of the mimic-gesture language with which children who are hearing impaired enter the school does not allow for the development of abstract terms, which is one of the main educational components in the instruction of mathematics in schools for students with hearing impairments. Children who are hearing impaired, due to their disability, are not exposed to natural stimulation. That is, they do not hear surrounding sounds which are reflective on speech development. The formulation of speech, especially oral speech, is very slow in children who are hearing impaired. Unskilled use of inadequate words in mathematics instruction may hamper the process of learning speech and calculus. This is especially true in senior classes when terms of actions, and in turn calculus problems, get more and more complicated. Moreover, this is true when pupils with hearing impairments are supposed to obtain mathematical vocabulary in calculus classes. Some operations have synonyms which makes them even harder for deaf to master. For example, addition: +, more, add, up... It is very important that a problem stated in words cannot be solved if the pupils do not understand every word of it. It is only possible to clearly state the problem content using words (10).
Systematic work on the development of mathematic vocabulary and specific expressions linked to calculus must be performed throughout education, from the beginning, because without possession of certain fundamental mathematics terms, pupils cannot acquire many mathematical terms and therefore cannot obtain certain knowledge. Yet, a sense of measure should be maintained, so as not to turn the mathematics class into a language class (11).
Speech material used in mathematics instruction can be divided into three groups:

1. Mathematical calculation – distinctive to calculation and some curriculum units; without this it is not possible to understand calculation problems.
2. Terms and expressions – do not appear only in mathematics but also in other subjects.
3. Speech material – necessary in the organization of mathematics classes.

The content of the speech material is also conditioned by the individual class. We should bear in mind that a pupil’s mathematical vocabulary will only develop if it is systematically worked on, as a means of development of pupil’s thought.

Методологија

Methodology

Целта на нашето истражување беше да се на­прави споредба на усвојувањето на ма­те­ма­тичкиот јазик кај учениците од пониските од­деленија од специјалните основни учи­лиш­та за деца со оштетен слух и учениците од редовните основни училишта. Поставени се и посебни цели со цел да се утврдат раз­ли­ки­те според нивото на усвоеност на ма­те­ма­тичкиот речник меѓу учениците во однос на оштетувањето на слухот и во однос на воз­раста.

The goal of the research was to compare the level in which mathematics knowledge was acquired in lower classes of special elementary schools for students who are hearing impaired compared to the level acquired in mainstream elementary schools. Special goals were set to determine the differences in accordance with the level in which mathematical vocabulary is acquired between pupils regarding hearing impairment and age.

Инструменти и техники на истражување

Research instruments and techniques

За собирање на податоците за усвојување на математичкиот речник употребени се два тес­та, специјално конструирани тестови за ис­тр­ажувањето, наменети за испитување на ма­тематичкиот речник кои беа во склад со за­дачите формулирани во наставните пла­но­ви и програми за испитуваните одделенија. Пр­виот тест е наменет за децата од прво од­де­ление од редовните основни училишта и де­цата од прво и второ одделение во учи­лиш­тата за глуви и наглуви. Вториот тест е на­менет за децата од второ одделение од ре­дов­ните основни училишта и децата од тре­то и четврто одделение во училиштето за глу­ви и наглуви. Тестовите содржеа точки кои се однесуваат на испитувањето на поз­на­ва­ње­то на математичките термини и сим­бо­ли, како и математичките содржини соод­вет­ни за возраста. Тестирањето е извршено на овој начин заради аналогните наставни со­др­жи­ни.

In order to gather data of the level mathematics language was acquired, two tests specifically developed for this research to test mathematics vocabulary were used, in accordance with the tasks stated in the curriculums and programs for the tested classes. The first test is intended for students in the 1st grade of a mainstream elementary school and students of the 1st and 2nd grade in a school for hearing impaired. The second test is intended for students in the 2nd grade of a mainstream elementary school and students in the 3rd and 4th grade in the school for  hearing impaired. The tests included items related to testing familiarity with mathematical terms and symbols, as well as mathematical content appropriate for the age in question. The testing was done in this way because of the analogous curriculums.

Примерок

Sample

Примерокот на истражување вклучува вку­пно 239 ученици, од кои 188 ученици од 1-во и 2-ро одделение од ре­дов­ните училишта во Белград (1-во од­де­ле­ние – 101 ученик, 2-ро одделение – 87 уче­ни­ци) и 51 ученик од 1-во до 4-то одделение од ос­новните училишта за деца со оштетен слух во Србија (1-во одделение – 14 ученици; 2-ро од­деление – 12; 3-то одделение – 10; 4-то од­де­ле­ние – 15 ученици). Истражувањето е спро­ведено во текот на април 2009 година.

The research sample included a total of 239 pupils.
One hundred eighty-eight pupils of the 1st and 2nd grade of mainstream elementary schools in Belgrade (1st grade – 101 pupils, 2nd grade – 87 pupils) and 51 pupils grades 1st through 4th from elementary schools for students who are hearing impaired in Serbia (1st grade – 14 pupils, 2nd grade – 12, 3rd grade – 10, 4th grade – 15 pupils). The research was performed in April 2009.

Резултати

Results

Успехот на учениците е изразен со проценти и даден е табеларен приказ на споредбената ана­лиза на усвоеноста на математичкиот реч­ник во 1-во и 2-ро одделение од учи­лиш­те­то за глуви и наглуви со 1-во одделение од ре­довните основни училишта (прв дел) и ре­зул­татите од 3-то и 4-то одделение од учи­ли­ш­та­та за глуви и наглуви со резултатите од 2-ро одделение од редовните основни учи­лишта (втор дел). Ваквиот пристап во при­кажувањето на резултатите е избран заради ана­логијата на наставните содржини во овие од­деленија. Според наставните пла­но­ви и про­грами, математичките термини пред­­ви­де­ни за 1-во одделение од редовните учи­­лиш­та се соодветни со ма­те­ма­тичките тер­­ми­ни предвидени за 1-во и 2-ро од­де­ле­ние во училиштата за глуви и на­глу­ви. Ис­то­то се од­несува и за 2-ро од­де­ле­ние од ре­дов­ни­те и 3-то и 4-то одделение од учи­лиштата за деца со оштетен слух.

A pupil’s success is shown using percentage points; tabular representation of comparative analysis of the acquisition of mathematics vocabulary in the 1st and 2nd grades of school for students who are hearing impaired compared to the 1st grade of mainstream elementary school (first part), and results from the 3rd and 4th grade of school for students who are hearing impaired compared to the results from the 2nd grade of mainstream elementary school (second part). This approach to the representation of results was chosen because of the analogy between curriculums in these grades. Namely, according to the curriculums, mathematical terms envisaged for the 1st grade of the mainstream elementary school coincide with the mathematical terms envisaged for the 1st and 2nd grades of the school for students who are hearing impaired. The same is true for the 2nd grade of the mainstream school and 3rd  and 4th  grade of the school for students who are hearing impaired.

Прв дел

Табела 1. Приказ на добиените резултати од испитувањето на математичкиот речник

First Part

Table 1. Acquired research results on the mathematics vocabulary testing

Во поглед на усвоеноста на математичките тер­мини потврдено е дека постојат разлики ме­ѓу учениците од редовните училишта и учи­лиштата за деца со оштетен слух. Нај­ма­ли разлики се забележани во областа на линиите, ка­де учениците во приближно еднаков про­цент (околу половина) познаваат одредени ли­нии. Учениците со оштетен слух од 2-ро од­деление најдобро ги познаваат редните брое­ви.
Во испитуваната област Предмети во прос­то­рот не се најдени големи разлики, уче­ни­ци­те со оштетен слух беа подобри во познавањето на некои тер­ми­ни. Овде не станува збор исклучиво за ма­те­матички термини, туку за термини кои се упо­требуваат во секојдневниот говор, што зна­чи дека децата со нив се сретнуваат мно­гу порано пред тргнувањето на училиште. Во училиштата за глуви и наглуви се обр­ну­ва многу внимание на односите во прос­то­рот, бидејќи претходните ис­тра­жу­ва­ња покажале дека децата со оштетен слух има­ат слаба ориентација во просторот (12). Исто така, на оваа област се работи и во под­гот­вителниот период за училиште, додека кај децата кои слушаат, заради се­кој­днев­на­та употреба на овие термини, дадената об­ласт бргу се поминува.
Исто така мали разлики се забележани при пре­познавањето на поимите по­го­ле­мо/по­ма­ло, овие тер­мини не се усвоени во задоволувачка ме­ра кај двете групи ученици. Еден од глав­ни­те причини е малиот број на часови пос­ве­те­ни на овие области. Термините по­го­ле­мо/по­ма­ло не беа усвоени од ниту еден ученик од 1-во одделение од училиштето за деца со ош­тетен слух, а само од половина уче­ни­ци­те од 1-во одделение од редовните учи­лиш­та. Со претходните истражувања е ут­вр­де­но дека овие термини не се усвоени, и дека не­пра­вилно се употребуваат и во погорните од­деленија (13). Областа на собироци се по­ка­жа како многу проблематична, ниеден уче­ник со оштетен слух не можеше да пре­поз­нае или да именува низа, ниту елементи на ни­зот, додека половина од учениците од ре­до­вните училишта можеле да ги именуваат собироците, меѓутоа поголемиот дел од нив не го разбираат терминот елемент на низ.
Уче­ниците од редовните училишта покажале по­го­лем успех при познавањето на ос­та­на­ти­те испитувани термини. Нашите очекувања се движеа во насока дека учениците со ош­те­тен слух имаат слаби познавања на ма­те­ма­тич­ките термини плус и минус. Ка­рак­те­рис­тич­но е дека тоа се термини кои имаат свои си­ноними, а многу е веројатно дека нас­тав­ни­ци­те често употребуваат и наместо плус и по­малку наместо минус. Од друга страна, овие тер­мини имаат гестови кои се идентични со сим­болите на овие математички термини, и од тие причини децата послабо ги помнат би­дејќи повеќе се потпираат на употребата на овој знак, а не на помнењето на самите збо­рови.      
Термините збир и разлика се потполно не­поз­нати за учениците со оштетен слух. Во ре­довните училишта, само половина од учи­лиш­тата ги познаваат овие термини. При­чи­на­та за ова се наоѓа, најверојатно, во прис­та­пот на наставниците кои на оваа возраст на уче­ниците, не им даваат доволно значење, туку на механизирање на операциите за прес­ме­ту­ва­ње, а таквиот пристап може да ре­зул­ти­ра со послаб успех во наставата по ма­те­ма­ти­ка во погорните одделенија.
Терминот претходник се покажа како при­лич­но непознат за учениците со оштетен слух, додека терминот следбеник го познаваа по­мал број на ученици од 2-ро одделение.

Regarding the acquisition of mathematical terms, this research confirms the existence of differences between pupils in mainstream schools and schools for students who are hearing impaired. The smallest differences were found in the field-domain of lines in part one of the table, where pupils in almost equal percent (about half) are familiar with certain lines. Pupils of the 2nd grade who are hearing impaired were most familiar with ordinal numbers.
In the domain “Objects in space” which was researched, no big differences were found – pupils who are hearing impaired were better in the familiarity with some terms. This is not exclusively about mathematical terms but also terms used in everyday speech, which is why children come into contact with these terms well before going to school. Much attention is given to space relations in schools for students who are hearing impaired since earlier research has shown that children who are hearing impaired have poorer orientation in space (12). Also, during school preparation this domain is worked on extensively while in children who are hearing, this domain is covered quickly due to the everyday use of the terms.
Also, small differences were found in the familiarity with the terms larger/smaller. Furthermore, it was found that these terms were not acquired properly in both groups of pupils. One of the main reasons for this is the small number of classes devoted to this domain. The terms larger/smaller were not acquired by any 1st grade pupil who is hearing impaired and by only a half of the pupils in the 1st grade of mainstream schools. The fact that these terms are not acquired and in turn are not used properly is confirmed by earlier research (13). The domain of sets proves very problematic, as no pupil who is hearing impaired was able to recognize and name a set or an element of a set; while half of the mainstream school pupils could name the set, though most of them were not familiar with the term element of set.
Pupils of mainstream schools showed better success with knowledge of other tested terms. What was not expected was for the pupils with hearing impairments to have little familiarity with the mathematical terms plus and minus. Characteristically, these are terms with synonyms; it is probable that teachers often use and instead of plus or less instead of minus. On the other hand, these terms have gestures identical to the symbols of these mathematical terms. Therefore, because children who are hearing impaired rely on using signs and not remembering the words themselves, they spend less time memorizing them.
Pupils who are hearing impaired were completely unfamiliar with the terms sum and difference. In a mainstream school, only half of the pupils knew these terms. The cause of this is probably inherent in the teacher’s approach, not giving enough attention in these grades to these terms, putting more emphasis on the mechanism of calculation operations. This approach may also lead to inferior achievement in later grades.
Lastly, the term precursor appeared to be fairly unknown to pupils who are hearing impaired, while the term successor was known to a smaller number of 2nd grade pupils.

Втор дел

Табела бр. 2  Приказ на добиените ре­зул­та­ти од испитувањето на математичкиот реч­ник

Second Part

Table 2. Acquired research results on the mathematics vocabulary testing